理系地学入門

万有引力

F=G\dfrac{mM}{R^2}

二つの物体の間に働く引力。距離の2乗に反比例する。

$F$: 万有引力
$G$: 万有引力定数
$m, M$: 二物体の質量
$R$: 物体間の距離

遠心力

f=mr\omega^2

回転運動をしている物体が見かけ上受ける、外向きの力。

$f$: 遠心力
$m$: 物体の質量
$r$: 回転半径
$\omega$: 角速度

地殻の厚さ

d=\frac{l}{2}\sqrt{\frac{v_2-v_1}{v_2+v_1}}

地震波速度の違いから地殻の厚さを推定する式。

$d$: 地殻の厚さ
$l$: 震央距離
$v_1$: 地殻内のP波速度
$v_2$: マントル内のP波速度

フーリエの法則

q=-k\frac{dT}{dz}

熱伝導による熱の移動量を記述する法則。

$q$: 熱流束密度
$k$: 熱伝導率
$dT/dz$: 温度勾配

大森公式

D=kt

地震の初期微動継続時間から震源までの距離を求める経験式。

$D$: 震源距離 (km)
$t$: 初期微動継続時間 (s)
$k$: 大森係数 (約8 km/s)

半減期

N(t)=N_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}

放射性同位体が崩壊し、元の数の半分になるまでにかかる時間。

$N(t)$: 時間t後の原子数
$N_0$: 初期の原子数
$t$: 経過時間
$T$: 半減期

等温大気の気圧公式

P(h)=P_{0}\cdot e^{-\frac{Mgh}{RT}}

高度による気圧の減少を示す指数関数的な関係式。

$P(h)$: 高度hでの気圧
$P_0$: 地表での気圧
$M$: 空気の分子量
$g$: 重力加速度
$h$: 高度
$R$: 気体定数
$T$: 温度 (K)

テテンスの式

e_{s}(T)=6.107\times 10^{\frac{7.5T}{237.3+T}}

飽和水蒸気圧を温度から計算する経験式。

$e_s(T)$: 飽和水蒸気圧 (hPa)
$T$: 気温 (°C)

クラウジウス・クラペイロンの式

\ln\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)=-\frac{L}{R_{v}}\left(\frac{1}{T_{2}}-\frac{1}{T_{1}}\right)

蒸気圧の温度依存性を示す熱力学の式。

$P_1, P_2$: 温度T_1, T_2での蒸気圧
$L$: 潜熱
$R_v$: 水蒸気の気体定数
$T_1, T_2$: 絶対温度 (K)

顕熱量

Q=m\cdot c\cdot \Delta T

物質の温度変化に伴う熱エネルギーの移動量。

$Q$: 顕熱量 (J)
$m$: 質量 (kg)
$c$: 比熱 (J/(kg·K))
$\Delta T$: 温度変化 (K または °C)

地球が受け取る太陽放射

Q=S\times \pi R^{2}

地球全体が受け取る太陽放射エネルギーの総量。

$Q$: 受け取る総エネルギー (W)
$S$: 太陽定数 (約1361 W/m²)
$R$: 地球の半径

単位面積あたりの平均受熱量

\text{平均受熱量}=\frac{S}{4}

地球表面の単位面積が平均して受け取る太陽放射量。

$S$: 太陽定数 (約1361 W/m²)

アルベドを考慮した吸収エネルギー

\text{吸収エネルギー}=\frac{S}{4}\times (1-\alpha)

地球のアルベド（反射率）を考慮した実際の吸収エネルギー。

$S$: 太陽定数
$\alpha$: アルベド (約0.3)

地衡風（スカラー形式）

V_{g}=\frac{1}{\rho f}\left|\frac{\Delta P}{\Delta n}\right|

気圧傾度力とコリオリ力が釣り合った風の速さ。

$V_g$: 地衡風の速さ
$\rho$: 大気密度
$f$: コリオリパラメータ
$\Delta P/\Delta n$: 気圧傾度

地衡風（ジオポテンシャル高度）

V_{g}=\frac{g}{f}\left|\frac{\Delta z}{\Delta n}\right|

等圧面の傾きから地衡風を求める式。

$V_g$: 地衡風の速さ
$g$: 重力加速度
$f$: コリオリパラメータ
$\Delta z/\Delta n$: 等圧面の傾き

コリオリパラメータ

f=2\Omega\sin\phi

緯度によって変化するコリオリ力の強さを示すパラメータ。

$f$: コリオリパラメータ
$\Omega$: 地球の自転角速度 (約7.29×10⁻⁵ rad/s)
$\phi$: 緯度

気圧傾度力

\vec{F}_{PGF}=-\frac{1}{\rho}\nabla P

気圧差によって空気を動かす力。

$\vec{F}_{PGF}$: 気圧傾度力
$\rho$: 大気密度
$\nabla P$: 気圧の水平勾配

フェーン現象（断熱変化）

T_{1}-T_{2}=\Gamma_{d}\times \Delta z

空気塊が山を越える際の温度変化を示す式。

$T_1, T_2$: 高度での温度
$\Gamma_d$: 乾燥断熱減率 (約0.98°C/100m)
$\Delta z$: 高度変化

等密度線の傾き（TS図）

\left(\frac{dT}{dS}\right)_{\rho=\text{const}}=-\frac{\alpha}{\beta}

TS図上で密度が一定となる線の傾き。

$dT/dS$: 等密度線の傾き
$\alpha$: 熱膨張率
$\beta$: 塩分収縮率

波の基本式

v=\frac{L}{T}=Lf

波の速度、波長、周期の関係を示す基本式。

$v$: 波の速度
$L$: 波長
$T$: 周期
$f$: 振動数 (f=1/T)

分散関係式

v^{2}=\frac{gL}{2\pi}\tanh\left(\frac{2\pi h}{L}\right)

海洋波の速度が水深と波長によって決まることを示す式。

$v$: 波の速度
$L$: 波長
$h$: 水深
$g$: 重力加速度

深海波の式

v=\sqrt{\frac{gL}{2\pi}}

水深が波長より十分深い場合の波速。

$v$: 波の速度
$L$: 波長
$g$: 重力加速度

浅海波の式

v=\sqrt{gh}

水深が波長より十分浅い場合の波速（津波など）。

$v$: 波の速度
$h$: 水深
$g$: 重力加速度

波のエネルギー

E=\frac{1}{8}\rho gH^{2}

単位面積あたりの波のエネルギー密度。

$E$: エネルギー密度 (J/m²)
$\rho$: 海水密度
$g$: 重力加速度
$H$: 波高

砕波条件

H\approx 0.78h

波が崩れる限界の条件。

$H$: 波高
$h$: 水深

エクマン輸送

\vec{T}_{E}=\frac{1}{\rho f}(\vec{k}\times\vec{\tau})

風によって駆動される海洋表層の質量輸送。

$\vec{T}_E$: エクマン輸送量
$\rho$: 海水密度
$f$: コリオリパラメータ
$\vec{\tau}$: 風応力

潮汐力

F_{T}\propto\frac{M}{d^{3}}

天体が地球に及ぼす潮汐力の強さ。距離の3乗に反比例。

$F_T$: 潮汐力
$M$: 天体の質量
$d$: 天体と地球の距離

水収支の式

\frac{dS}{dt}=P-E-R

ある領域の水の貯留量の時間変化。

$dS/dt$: 貯水量の変化率
$P$: 降水量
$E$: 蒸発量
$R$: 流出量

蒸発量の式

E=f(u)\cdot(e_{s}-e_{a})

風速と飽和不足量から蒸発量を推定する式。

$E$: 蒸発量
$f(u)$: 風速の関数
$e_s$: 飽和水蒸気圧
$e_a$: 実際の水蒸気圧

熱慣性

\text{熱慣性}=\sqrt{\rho\cdot c\cdot k}

物質が熱を蓄えやすさを示す指標。都市ヒートアイランドの要因。

$\rho$: 密度
$c$: 比熱
$k$: 熱伝導率

歳差運動のトルク

\vec{\tau}=\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{\Omega}_{p}\times\vec{L}

地球の自転軸の歳差運動を引き起こすトルク。

$\vec{\tau}$: トルク
$\vec{L}$: 角運動量
$\vec{\Omega}_p$: 歳差角速度

年周視差

d[\text{pc}]=\frac{1}{p[^{\prime\prime}]}

恒星までの距離をパーセクで表す基本式。

$d$: 距離 (パーセク)
$p$: 年周視差角 (秒角)

年周光行差

\alpha\approx\frac{v}{c}

地球の公転運動による恒星の見かけの位置のずれ。

$\alpha$: 光行差角
$v$: 地球の公転速度 (約29.8 km/s)
$c$: 光速

会合周期

S=\frac{|P_{1}\cdot P_{2}|}{|P_{2}-P_{1}|}

二つの天体が同じ相対位置に戻るまでの周期。

$S$: 会合周期
$P_1, P_2$: 各天体の公転周期

ケプラー第1法則（楕円軌道）

r=\frac{a(1-e^{2})}{1+e\cos\theta}

惑星は太陽を一つの焦点とする楕円軌道を描く。

$r$: 太陽からの距離
$a$: 軌道長半径
$e$: 離心率
$\theta$: 真近点角

ケプラー第2法則（面積速度一定）

\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}r^{2}\frac{d\theta}{dt}=\text{一定}

惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間に掃く面積は一定。

$dA/dt$: 面積速度
$r$: 太陽からの距離
$d\theta/dt$: 角速度

ケプラー第3法則（調和の法則）

P^{2}=\frac{4\pi^{2}}{G(M_{\text{sun}}+M_{\text{planet}})}a^{3}

公転周期の2乗は軌道長半径の3乗に比例する。

$P$: 公転周期
$a$: 軌道長半径
$G$: 万有引力定数
$M_{sun}$: 太陽の質量

視直径

\theta\approx\frac{D}{d}

天体の見かけの大きさ（角度）を求める近似式。

$\theta$: 視直径 (ラジアン)
$D$: 天体の実際の直径
$d$: 天体までの距離

核融合（D-T反応）

{}_{1}^{2}\text{D}+{}_{1}^{3}\text{T}\rightarrow{}_{2}^{4}\text{He}+{}_{0}^{1}\text{n}+17.6\text{ MeV}

地上の核融合炉で研究される主要な反応。

$D$: 重水素
$T$: 三重水素
$He$: ヘリウム
$n$: 中性子

質量エネルギー等価性

E=mc^{2}

質量とエネルギーの等価性を示すアインシュタインの式。

$E$: エネルギー
$m$: 質量
$c$: 光速

ローソン条件

n\cdot\tau_{E}\cdot T\ge\text{一定値}

核融合を持続させるために必要な条件。

$n$: プラズマ密度
$\tau_E$: エネルギー閉じ込め時間
$T$: プラズマ温度

ポグソンの式

\frac{I_{1}}{I_{2}}=(2.512)^{m_{2}-m_{1}}

等級差と明るさの比の関係。

$I_1, I_2$: 天体の明るさ
$m_1, m_2$: 見かけの等級

等級の計算式

m_{2}=m_{1}-2.5\log_{10}\left(\frac{I_{2}}{I_{1}}\right)

明るさの比から等級を求める式。

$m_2$: 求める等級
$I_2/I_1$: 明るさの比

距離指数方程式

m-M=5\log_{10}(d)-5

見かけの等級と絶対等級から距離を求める式。

$m$: 見かけの等級
$M$: 絶対等級
$d$: 距離 (パーセク)

ウィーンの変位則

\lambda_{max}=\frac{b}{T}

黒体が最も強く放射する波長と温度の関係。

$\lambda_{max}$: 最大放射波長
$b$: ウィーンの変位定数 (約2.898×10⁻³ m·K)
$T$: 絶対温度 (K)

シュテファン・ボルツマンの法則

M=\sigma T^{4}

黒体が放射する全エネルギー量は温度の4乗に比例する。

$M$: 放射発散度 (W/m²)
$\sigma$: シュテファン・ボルツマン定数
$T$: 絶対温度 (K)

プランクの法則

B(\lambda,T)=\frac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_{B}T}}-1}

黒体放射のスペクトル分布を完全に記述する式。

$B(\lambda,T)$: 放射輝度
$h$: プランク定数
$c$: 光速
$k_B$: ボルツマン定数

恒星の光度

L=4\pi R^{2}\sigma T_{eff}^{4}

恒星が放出する全エネルギー量。半径の2乗と温度の4乗に比例。

$L$: 光度 (W)
$R$: 恒星の半径
$\sigma$: シュテファン・ボルツマン定数
$T_{eff}$: 有効温度 (K)

光度の相対比較

\frac{L}{L_{\odot}}=\left(\frac{R}{R_{\odot}}\right)^{2}\left(\frac{T_{eff}}{T_{\odot}}\right)^{4}

太陽を基準とした恒星の光度比較式。

$L/L_\odot$: 太陽光度に対する比
$R/R_\odot$: 太陽半径に対する比
$T_{eff}/T_\odot$: 太陽温度に対する比

連星系のケプラー第3法則

P^{2}=\frac{4\pi^{2}}{G(M_{1}+M_{2})}a^{3}

連星の周期から二つの星の質量の和を求める式。

$P$: 公転周期
$M_1, M_2$: 二つの恒星の質量
$a$: 平均距離
$G$: 万有引力定数

質量比と重心

M_{1}r_{1}=M_{2}r_{2}

連星系の重心の法則。質量比は距離の逆比。

$M_1, M_2$: 恒星の質量
$r_1, r_2$: 重心からの距離

ドップラー効果

\frac{\Delta\lambda}{\lambda_{0}}=\frac{v_{r}}{c}

天体の視線速度によるスペクトル線の波長シフト。

$\Delta\lambda$: 波長のずれ
$\lambda_0$: 元の波長
$v_r$: 視線速度
$c$: 光速

主系列星の寿命

T_{\text{life}}\approx\frac{10^{10}\text{ 年}}{M^{2.5}}

恒星の質量から主系列段階の寿命を推定する式（太陽質量単位）。

$T_{life}$: 寿命 (年)
$M$: 質量 (太陽質量単位)

質量光度関係

L\propto M^{3.5}

主系列星の光度は質量の約3.5乗に比例する。

$L$: 光度
$M$: 質量

ニュートリノ振動

P(\nu_{\alpha}\rightarrow\nu_{\beta})=\sin^{2}(2\theta)\sin^{2}\left(\frac{\Delta m^{2}c^{4}L}{4\hbar cE}\right)

ニュートリノの種類が飛行中に変化する確率。

$P$: 振動確率
$\theta$: 混合角
$\Delta m^2$: 質量の2乗の差
$L$: 飛行距離
$E$: エネルギー

ニュートリノのエネルギー運動量関係

E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}

相対論的粒子のエネルギーと運動量の関係。

$E$: 全エネルギー
$p$: 運動量
$m$: 静止質量
$c$: 光速

周期光度関係（ケフェウス型変光星）

M=a\log_{10}(P)+b

変光周期から絶対等級を推定し、距離測定に利用する。

$M$: 絶対等級
$P$: 変光周期 (日)
$a, b$: 経験的定数

脈動周期と密度

P\sqrt{\rho}=\text{一定}

脈動変光星の周期は平均密度に関係する。

$P$: 脈動周期
$\rho$: 平均密度

銀河の回転速度

v=\sqrt{\frac{GM(r)}{r}}

銀河内の天体の回転速度から内側の質量を推定する式。

$v$: 回転速度
$M(r)$: 距離r内の総質量
$r$: 銀河中心からの距離
$G$: 万有引力定数

ターリー・フィッシャー関係

L\propto v_{max}^{n}

銀河の光度と最大回転速度の経験的関係（n≈4）。

$L$: 銀河の光度
$v_{max}$: 最大回転速度
$n$: 指数 (約3-4)

ダークマターを含む質量

M_{\text{total}}(r)=M_{\text{visible}}(r)+M_{\text{dark matter}}(r)

観測される回転速度を説明するための総質量の分解。

$M_{total}$: 総質量
$M_{visible}$: 可視物質の質量
$M_{dark matter}$: ダークマターの質量

フリードマン方程式

\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^{2}=\frac{8\pi G}{3}\rho-\frac{kc^{2}}{a^{2}}+\frac{\Lambda c^{2}}{3}

宇宙の膨張速度を記述する一般相対論の方程式。

$a$: スケール因子
$\rho$: 宇宙の平均密度
$k$: 曲率パラメータ
$\Lambda$: 宇宙定数

ハッブル・ルメートルの法則

v=H_{0}\cdot d

銀河の後退速度は距離に比例する。宇宙膨張の証拠。

$v$: 後退速度 (km/s)
$H_0$: ハッブル定数 (約67-74 km/s/Mpc)
$d$: 距離 (Mpc)

距離の推定

d=\frac{v}{H_{0}}

ハッブルの法則から銀河までの距離を求める式。

$d$: 距離
$v$: 後退速度
$H_0$: ハッブル定数

宇宙の年齢（ハッブル時間）

T_{\text{age}}\approx\frac{1}{H_{0}}

ハッブル定数の逆数から宇宙の年齢を概算する。

$T_{age}$: 宇宙の年齢
$H_0$: ハッブル定数

宇宙背景放射のスペクトル

B_{\nu}(T)=\frac{2h\nu^{3}}{c^{2}}\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{k_{B}T}}-1}

宇宙マイクロ波背景放射の完全な黒体スペクトル（T≈2.725K）。

$B_\nu(T)$: 放射輝度
$\nu$: 振動数
$T$: 温度 (約2.725 K)
$h$: プランク定数
$k_B$: ボルツマン定数

太陽定数

S\approx 1361\text{ W/m}^{2}

地球軌道における太陽放射の強度。

$S$: 太陽定数